Почему число Пи не равно четырем
В ынтернетах периодически всплывает очередное баянное "доказательство", будто число пи равно 4. Казалось бы, логика железная: если вписать в квадрат 1х1 единичную окружность, а потом отбрасывать квадратные уголки, сокращая шаг до бесконечности, то периметр новых фигур как был, так и останется равным 4. То есть отношение длины окружности к ее диаметру (оно же число Пи) равно 4, а не какие-то там 3,14...
Сейчас объясним на пальцах, почему так делать нельзя.
Есть такой парадокс лестницы (не путать с парадоксом лестницы из СТО). Графически он похож на бредятину про число пи, но выглядит нагляднее.
Допустим, у нас есть лестница, заключенная в квадрат 1х1, которая состоит сначала из одной ступеньки, потом из двух, четырех и т.д.
Чтобы узнать длину лестницы (зеленая линия диагонали), якобы можно просто дробить число ступенек до бесконечности, пока они не сольются в диагональ. При этом их общая длина всегда будет равна 2, а значит и диагональ тоже будет равна 2.
Но на самом деле она равна квадратному корню из 2 (из теоремы Пифагора, ясен-красен), т.е. намного меньше!
Вся фишка в том, что если дробить число ступенек до бесконечности, их горбики-выступы всё равно никуда не денутся. Они хоть и станут бесконечно малы, но их будет бесконечно много.
То же самое происходит и с отрезанием уголков у квадрата с окружностью. Поэтому такой подход неприменим.
Похожий парадокс называется парадоксом береговой линии, легший в основу фрактальной геометрии.
Его визуализация часто приводится на примере карты Великобритании:
Суть его в том, что если измерять длину кривой линии мерными прямыми отрезками, постепенно уменьшая их длину до нуля, то суммарная длина кривой будет расти вплоть до бесконечности.
Что лишний раз подтверждает неприменимость прямых линий для измерения кривых.
© Генрих Лиговский
01.09.2026
|
